Question

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=8，設(shè)b_n=log₂a_n（n∈N₊），如果數(shù)列{b_n}的前7項和S₇是它的前n項和組成的數(shù)列{S_n}的最大值，且S₇≠S₈，求{a_n}的公比q的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=8q^n-1，得到b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，由此證明數(shù)列{b_n}是以3為首項，log₂q為公差的等差數(shù)列，可得b_n=3+（n-1）log₂q，由已知條件得b₇＞0，b₈＜0，由此能求出數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，a₁=8，∴數(shù)列為正項數(shù)列，
∴a_n=8q^n-1，
∴b_n=log₂a_n=3+（n-1）log₂q，
b_n+1=3+nlog₂q，
∴b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項，log₂q為公差的等差數(shù)列．
由（1）知b_n=3+（n-1）log₂q，
∵數(shù)列{b_n}的前n項和中S₇最大，且S₇≠S₈，
∴b₇＞0，b₈＜0，
由b₇＞0，得：3+（7-1）log₂q＞0，
整理，得2log₂q＞-1，log₂q＞-

1

2

，解得q＞

2

2

，
由b₈＜0，得3+（8-1）log₂q＜0，
整理，得log₂q＜-

3

7

，q＜(

1

2

)

3

7

．
綜上，得

2

2

＜q＜(

1

2

)

3

7

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的公比的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)性質(zhì)的合理運用．