Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d≠0且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=2b_n-2（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$+log₂b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列性質(zhì)求出公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式數(shù)列，由S_n=2b_n-2（n∈N^*），得$\frac{_{n}}{_{n-1}}=2（n≥2）$，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$+log₂b_n=$\frac{1}{n（n+1）}+n$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+n$，利用裂項(xiàng)求和法和分組求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d≠0且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴${{a}_{4}}^{2}={a}_{2}{a}_{8}$，即（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
解得d=1或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=2b_n-2（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁=2b₁-2，解得b₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2（b_n-b_n-1），
整理，得$\frac{_{n}}{_{n-1}}=2（n≥2）$，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，n∈N^*．
（2）由（1）得c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$+log₂b_n=$\frac{1}{n（n+1）}+n$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+n$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）+（1+2+3+…+n）
=1-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{n}{n+1}+\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．