Question

20．已知函數(shù)f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）
（1）若f（x）在R上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a≤-4且y=f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a²+（b-17）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）去掉絕對(duì)值，得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，又由f（x）在R上不單調(diào)，列出不等式組求解即可得答案；
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，若a≤-4且y=f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，且$-\frac{2+a}{2}≥1$，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，再由線性規(guī)劃可得答案．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R），
得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，
若f（x）在R上不單調(diào)，
得$-\frac{2+a}{2}＞0$或$\frac{2-a}{2}＜0$，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a＜-2或a＞2；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，
若a≤-4且y=f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，且$-\frac{2+a}{2}≥1$，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+b-3≤0}\\{2a+b＞0}\\{3a+b+3≤0}\\{a≤-4}\end{array}\right.$，
a²+（b-17）²的幾何意義為定點(diǎn)（0，17）
與可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)距離的平方，
由$\frac{|3×0+1×17+3|}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$，
得a²+（b-17）²的最小值為$（2\sqrt{10}）^{2}$=40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定以及簡(jiǎn)單線性規(guī)劃知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．