Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，一個頂點為A（2，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)△AMN的面積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；
（2）直線y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離，利用△AMN的面積，可求k的值．

解答 解：（1）∵橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直線y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
∵A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面積S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$×$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k|\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$

∵△AMN的面積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
∴$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$=$\frac{|k|\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
∴k=±$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|．