Question

6．已知滿足條件x²+y²≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為S₁，滿足條件[x²]+[y]²≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為S₂，（其中[x]、[y]分別表示不大于x、y的最大整數(shù)），則點（S₁，S₂）一定在（　�。�

• A． 直線x-y=0上
• B． 直線2x-y-1=0右下方的區(qū)域內(nèi)
• C． 直線x+y-8=0左下方的區(qū)域內(nèi)
• D． 直線x-y+2=0左上方的區(qū)域內(nèi)

Answer 1

分析 求出滿足條件x²+y²≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積，畫出滿足條件[x²]+[y]²≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域，求出面積，得到點（S₁，S₂），結(jié)合原點在平面中的位置關(guān)系得答案．

解答 解：滿足條件x²+y²≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域為一個圓及其內(nèi)部區(qū)域，其面積為：π，即S₁=π；
當-1＜x＜1，-1≤y＜2時，滿足條件[x²]+[y]²≤1；
當$-\sqrt{2}＜$x≤-1，0≤y＜1時，滿足條件[x²]+[y]²≤1；
當1≤x$＜\sqrt{2}$，0≤y＜1時，滿足條件[x²]+[y]²≤1．
∴滿足條件[x²]+[y]²≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域如圖，
其面積為：2×3+$2\sqrt{2}-2$=$4+2\sqrt{2}$，即${S}_{2}=4+2\sqrt{2}$．
∴點（S₁，S₂）=（$π，4+2\sqrt{2}$），不在直線x-y=0上；
代入2x-y-1小于0，與原點在直線2x-y-1=0的同側(cè)，在直線2x-y-1=0左上方的區(qū)域內(nèi)；
代入x+y-8大于0，與原點在直線x+y-8=0的異側(cè)，在直線x+y-8=0右上方的區(qū)域內(nèi)；
代入x-y+2小于0，與原點在直線x-y+2=0的異側(cè)，在直線x-y+2=0左上方的區(qū)域內(nèi)．
故選：D．

點評 本題考查二元一次不等式及其平面區(qū)域，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確作出滿足條件[x²]+[y]²≤1的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵，難度較大．