Question

16．已知$f（x）=\frac{ax+2}{{{x^2}+1}}$為R上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并利用定義證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）為R上的偶函數(shù)便可得到f（-1）=f（1），這樣即可得出a=0；
（Ⅱ）可看出$f（x）=\frac{2}{{x}^{2}+2}$在[0，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義：設(shè)任意的x₂＞x₁≥0，然后作差，通分，證明f（x₂）＜f（x₁）便可得出f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）為R上的偶函數(shù)；
∴f（-1）=f（1）；
∴$\frac{-a+2}{1+1}=\frac{a+2}{1+1}$；
∴a=0；
（Ⅱ）函數(shù)$f（x）=\frac{2}{{{x^2}+1}}$在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
證明：設(shè)x₂＞x₁≥0，則：
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{2}{x_2^2+1}-\frac{2}{x_1^2+1}$
=$\frac{2（x_1^2-x_2^2）}{（x_2^2+1）（x_1^2+1）}$
=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{（x_2^2+1）（x_1^2+1）}$；
∵x₂＞x₁≥0；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，$x_1^2+1＞0$，$x_2^2+1＞0$；
∴$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{（x_2^2+1）（x_1^2+1）}＜0$；
即f（x₂）-f（x₁）＜0；
∴f（x₂）＜f（x₁）；
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點評 考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義判斷和證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，以及平方差公式．