Question

5．若定義在區(qū)間D上的函數f（x）對于D上任意n個值x₁，x₂，…x_n總滿足$\frac{1}{n}$[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）]≤f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}+…{+x}_{n}}{n}$），則稱f（x）為D的凸函數，現已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數，則三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由凸函數的性質可得：sinA+sinB+sinC≤3$sin\frac{A+B+C}{3}$，即可得出．

解答 解：由凸函數的性質可得：sinA+sinB+sinC≤3$sin\frac{A+B+C}{3}$=$3sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，當且僅當A=B=C=$\frac{π}{3}$時取等號．
∴sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了凸函數的性質、三角形內角和定理、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．