Question

20．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取20件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量得到如圖1的頻率分布直方圖，從左到右各組的頻數(shù)依次記為A₁，A₂，A₃，A₄，A₅．
（1）求圖中a的值并估算該企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；
（2）如圖2是統(tǒng)計(jì)圖中各組頻數(shù)的一個(gè)算法流程圖，求輸出的結(jié)果S；
（3）從質(zhì)量指標(biāo)值分布在[80，90），[110，120）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求所抽取兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值之差大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）依題意，利用頻率之和為1，直接求解a的值．累指各組組中與頻率的乘積，可得平均值的估算值；
（2）由頻率分布直方圖可求A₁，A₂，A₃，A₄，A₅的值，由程序框圖可得S=A₂+A₃+A₄，代入即可求值．
（3）記質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）的4件產(chǎn)品為x₁，x₂，x₃，x₄，質(zhì)量指標(biāo)在[80，90）的1件產(chǎn)品為y₁，可得從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果共10種，記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事件A，可求事件A中包含的基本事件共4種，從而可求得P（A）．

解答 解：（1）依題意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1
解得：a=0.005，
由（0.005×85+0.02×115+0.03×105+0.04×95+0.005×125）×10=103，
故該企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值約為103件；
（2）A₁=0.005×10×20=1，A₂=0.040×10×20=8，A₃=0.030×10×20=6，A₄=0.020×10×20=4，A₅=0.005×10×20=1
故輸出的S=A₂+A₃+A₄=18
（3）記質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）的4件產(chǎn)品為x₁，x₂，x₃，x₄，質(zhì)量指標(biāo)在[80，90）的1件產(chǎn)品為y₁，
則從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果為：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，x₄），（x₁，y₁），（x₂，x₃），
（x₂，x₄），（x₂，y₁），（x₃，x₄），（x₃，y₁），（x₄，y₁）共10種，
記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事件A，
則事件A中包含的基本事件為：（x₁，y₁），（x₂，y₁），（x₃，y₁），（x₄，y₁）共4種
所以可得：P（A）=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$．
即從質(zhì)量指標(biāo)值分布在[80，90）、[110，120）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，所抽取兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10的概率為$\frac{2}{5}$

點(diǎn)評 本題考查讀頻率分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力，利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題，屬于中檔題．