Question

15．若不等式a²+b²+2＞λ（a+b）對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 不等式a²+b²+2＞λ（a+b）對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，可得λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$．由于$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$≥$\frac{\frac{（a+b）^{2}}{2}+2}{a+b}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵不等式a²+b²+2＞λ（a+b）對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，
∴λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$．
∵$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$≥$\frac{\frac{（a+b）^{2}}{2}+2}{a+b}$=$\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}$≥2$\sqrt{\frac{a+b}{2}•\frac{2}{a+b}}$=2．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．
∴λ＜2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．