Question

3．2014年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（2）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率．

Answer 1

分析 （1）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，由此能求出眾數(shù)的估計值；設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，由頻率分布直方圖能求出中位數(shù)的估計值和平均數(shù)的估計值．
（2）從頻率分布直方圖求出車速在[60，65）的車輛數(shù)、車速在[65，70）的車輛數(shù)，設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，利用列舉法能求出車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率．

解答 解：（1）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，
即眾數(shù)的估計值等于77.5，
設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，
則中位數(shù)的估計值為：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，
即中位數(shù)的估計值為77.5，
平均數(shù)的估計值為：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．
（2）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m₁=0.01×5×40=2（輛），
車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m₂=0.02×5×40=4（輛）
設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，
車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，
則所有基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15種
其中車速在[65，70）的車輛恰有一輛的事件有：
（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8種
∴車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率為${P}=\frac{8}{15}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．