Question

20．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（　　）

• A． 2+2$\sqrt{2}$
• B． 2+$\sqrt{2}$
• C． 4+2$\sqrt{2}$
• D． 4+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖作出棱錐直觀圖，根據(jù)棱錐的結構特征計算每個側面的面積．

解答 解：根據(jù)三視圖作出三棱錐P-ABC的直觀圖，
P在底面ABC中的射影為AB的中點D，AB⊥AC，PD=1，AB=2，AC=$\sqrt{2}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•PD$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
由PD⊥平面ABC得PD⊥AC，故而AC⊥平面PAD．∴AC⊥PA．
∵PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴S_△PAC=$\frac{1}{2}PA•AC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．
由勾股定理得PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴PB²+PC²=BC²，∴PB⊥PC．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}PB•PC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．
∴三棱錐額表面積S=1+$\sqrt{2}$+1+$\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查了棱錐的結構特征和三視圖，多面體的表面積計算，屬于中檔題．