Question

5．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)為A₁C₁上的動點，且EF=$\frac{1}{2}$，則下列結論中錯誤的是（　�。�

• A． BD⊥CE
• B． △CEF的面積為定值
• C． 四面體BCEF的體積隨EF的位置的變化而變化
• D． 直線BE與CF為異面直線

Answer 1

分析 在A中，由已知能推導出BD⊥平面A₁C₁C，從而BD⊥CE；在B中，EF=$\frac{1}{2}$，點C到EF的距離CC₁=1，從而△CEF的面積為定值；在C中，四面體BCEF的體積隨EF的位置的變化而保持不變；在D中，直線BE與CF既不平行，也不相交．

解答 解：在A中：∵棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，
∴BD⊥A₁C₁，且BD⊥CC₁，又A₁C₁∩CC₁=C₁，∴BD⊥平面A₁C₁C，
∴BD⊥CE，故A正確；
在B中：∵△CEF中，EF=$\frac{1}{2}$，點C到EF的距離CC₁=1，
∴△CEF的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，為定值，故B正確；
在C中：∵△CEF的面積為定值$\frac{1}{4}$，點B到平面CEF的距離即為點B到平面A₁CC₁的距離，
∴四面體BCEF的體積隨EF的位置的變化而保持不變，故C錯誤；
在D中：直線BE與CF既不平行，也不相交，故直線BE與CF為異面直線，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．