Question

15．已知表面積為24π的球外接于三棱錐S-ABC，且∠BAC=$\frac{π}{3}$，BC=4，則三棱錐S-ABC的體積最大值為（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{16}{3}$
• D． $\frac{32}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，球心為O，如圖所示，由球O的表面積是24π，可得4πR²=24π，解得R．設(shè)△ABC的外心為O₁，外接圓的半徑為r，則O₁B=r=$\frac{1}{2}×\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$可得OO₁=$\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，O₁S=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．在△ABC中，由余弦定理可得：16=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得bc≤16，利用三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$，即可得出．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，球心為O，如圖所示
∵球O的表面積是24π，∴4πR²=24π，解得R=$\sqrt{6}$．
設(shè)△ABC的外心為O₁，外接圓的半徑為r，則O₁B=r=$\frac{1}{2}×\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴OO₁=$\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴O₁S=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理可得：16=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，
化為b²+c²=bc+16≥2bc，∴bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)取等號(hào)．
∴三棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}×16$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐外接球的性質(zhì)、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．