4．已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1an=（n+1）2（n+2）2，求數(shù)列{an}的通項公式．

分析 a1=4，an+1an=（n+1）2（n+2）2，可得a2=9，a3=16，…，猜想an=（n+1）2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵a1=4，an+1an=（n+1）2（n+2）2，
∴a2=9，a3=16，…，猜想an=（n+1）2．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，a1=4=（1+1）2，成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N*時成立，即${a}_{k}=（k+1）^{2}$，
又ak+1ak=（k+1）2（k+2）2，
∴ak+1=（k+2）2=（k+1+1）2，
即當(dāng)n=k+1時也成立，
綜上可得：對于?n∈N*，an=（n+1）2成立．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系，考查了猜想能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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