Question

14．已知f（x）=$\frac{2}{{{3^x}+1}}$+m，m是實(shí)常數(shù)，
（1）當(dāng)m=1時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，不等式f（f（x））+f（a）＜0對(duì)x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，利用函數(shù)的奇偶性判斷并證明；
（3）由f（x）是奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x）恒成立，化簡(jiǎn)整理得m的值，利用定義法研究$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的單調(diào)性，最后即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1$，定義域?yàn)镽，${3^x}+1∈（{1，+∞}），\frac{2}{{{3^x}+1}}∈（{0，2}）$，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1∈（{1，3}）$，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，3）；
（2）f（x）為非奇非偶函數(shù)．當(dāng)m=0時(shí)，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}，f（1）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}，f（{-1}）=\frac{2}{{\frac{1}{3}+1}}=\frac{3}{2}$，
∵f（-1）≠f（1），∴f（x）不是偶函數(shù)；又∵f（-1）≠-f（1），∴f（x）不是奇函數(shù)；
即f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）恒成立，即$\frac{2}{{{3^x}+1}}+m=-\frac{2}{{{3^x}+1}}-m$對(duì)x∈R恒成立，化簡(jiǎn)整理得$-2m=\frac{{2×{3^x}}}{{1+{3^x}}}+\frac{2}{{{3^x}+1}}=2$，即m=-1．
下用定義法研究$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的單調(diào)性：
設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-1-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}+1$=$\frac{{2（{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}）}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}＞0$，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
∵f（f（x））+f（a）＜0恒成立，且函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（f（x））＜-f（a）=f（-a）恒成立，
又∵函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，∴f（x）＞-a恒成立，即f_min（x）＞-a恒成立，
又∵函數(shù)$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的值域?yàn)椋?1，1），∴-a≤-1，即a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了函數(shù)的值域以及不等式的證明，是中檔題．