Question

15．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$為空間向量，則下列命題中：①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$⇒$\overrightarrow=\overrightarrow{c}$；②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$=0，或$\overrightarrow$=0；③|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=${\overrightarrow{a}}^{2}$$-{\overrightarrow}^{2}$；||；④${\overrightarrow{a}}^{2}$$•{\overrightarrow}^{2}$=（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²；⑤（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow•\overrightarrow{c}）$；⑥$\overrightarrow{a}$與（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow$互相垂直；⑦|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²=2（|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²）；⑧$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$≤|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|$．其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$⇒$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$=0，即可判斷出正誤；
②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$=0，或$\overrightarrow$=0或$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，即可判斷出正誤；
③當(dāng)兩個(gè)向量模相等，方向不同時(shí)，不成立；
④由數(shù)量積定義（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²=$（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ）^{2}$≤$|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$$•{\overrightarrow}^{2}$，即可判斷出正誤；
⑤（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow•\overrightarrow{c}）$，左邊與$\overrightarrow{c}$共線，而右邊與$\overrightarrow{a}$共線，而$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$不一定共線，即可判斷出正誤；
⑥作數(shù)量積運(yùn)算$\overrightarrow{a}$•[（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow$]=（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，即可判斷出正誤；
⑦把|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²展開(kāi)化簡(jiǎn)可得2（|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²），即可判斷出正誤；
⑧由數(shù)量積的性質(zhì)可知：即可判斷出正誤．

解答 解：①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$⇒$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$=0，因此不正確；
②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$=0，或$\overrightarrow$=0或$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，因此不正確；
③|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=|=${\overrightarrow{a}}^{2}$$-{\overrightarrow}^{2}$；當(dāng)兩個(gè)向量模相等，方向不同時(shí)，不成立；
④（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²=$（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ）^{2}$≤$|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$$•{\overrightarrow}^{2}$，因此不正確；
⑤（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow•\overrightarrow{c}）$，左邊與$\overrightarrow{c}$共線，而右邊與$\overrightarrow{a}$共線，而$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$不一定共線，因此不正確；
⑥$\overrightarrow{a}$•[（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow$]=（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，∴$\overrightarrow{a}$與（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow$互相垂直，正確；
⑦把|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²展開(kāi)化簡(jiǎn)可得2（|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²），正確；
⑧$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$≤|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|$．由數(shù)量積的性質(zhì)可知：正確．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．