Question

12．證明：
（1）$\frac{1-2sinxcos2x}{co{s}^{2}2x-si{n}^{2}2x}$=$\frac{1-tan2x}{1+tan2x}$．
（2）（2-cos²α）（2+tan²α）=（1+2tan²α）（2-sin²α）．

Answer 1

分析 （1）將所證關(guān)系式的左端利用平方差公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：左端=$\frac{cos2x-sin2x}{cos2x+sin2x}$，整理即得右端．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)左邊=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，同理可證右邊=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，可得左邊等于右邊，從而得證．

解答 證明：（1）左邊=$\frac{1-2sin2xcos2x}{co{s}^{2}2x-si{n}^{2}2x}$
=$\frac{（cos2x-sin2x）^{2}}{（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）}$
=$\frac{cos2x-sin2x}{cos2x+sin2x}$
=$\frac{1-tan2x}{1+tan2x}$=右邊；
（2）∵左邊=（2-cos²α）（2+tan²α）
=4+2tan²α-2cos²α-sin²α
=4+2×（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1）-2cos²α-1+cos²α
=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，
右邊=（1+2tan²α）（2-sin²α）
=（1+2tan²α）（1+cos²α）
=1+cos²α+2tan²α+2sin²α，
=1+cos²α+2×（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1）+2-2cos²α，
=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，
∴左邊=右邊，得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想與推理證明能力，屬于中檔題．