Question

3．若直線ax+y-a+1=0（a∈R）與圓x²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$的最小值為4．

Answer 1

分析 易得直線恒過(guò)定點(diǎn)C（1，-1），圓x²+y²=4圓心為（0，0）半徑為2，$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=4-2×2×cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞，可得當(dāng)AB⊥OC時(shí)，式子取最小值，數(shù)形結(jié)合聯(lián)立方程組解點(diǎn)的坐標(biāo)可得．

解答 解：直線ax+y-a+1=0可化為y+1=-a（x-1），
恒過(guò)定點(diǎn)C（1，-1），圓x²+y²=4圓心為（0，0）半徑為2，
∴$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=${\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$
=4-2×2×cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞，
當(dāng)AB⊥OC時(shí)，＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞最小，cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最大值，
此時(shí)$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=4-4cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最小值，
此時(shí)OC的斜率為-1，由垂直關(guān)系可得-a=1，解得a=-1，
故此時(shí)直線方程為y+1=x-1，即y=x-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最小值$\frac{π}{2}$，cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最大值0，
此時(shí)$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=4-4cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最小值4，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，涉及向量的數(shù)量積的最值和三角函數(shù)，屬中檔題．