Question

10．已知圓Q：x²+y²+Dx+Ey+F=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，5），（1，-2），（1，6），且直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-6=0與圓Q相交于C，D
（1）求圓Q的方程．
（2）若△QCD的周長(zhǎng)為18，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把（0，5），（1，-2），（1，6）代入圓Q：x²+y²+Dx+Ey+F=0，由此能求出圓方程．
（2）圓x²+y²-8x-4y-5=0的圓心Q（4，2），半徑r=5，從而弦CD的長(zhǎng)度8，進(jìn)而圓心（4，2）到直線l的距離為4，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出m的值．

解答 解：（1）解：∵圓Q：x²+y²+Dx+Ey+F=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，5），（1，-2），（1，6），
∴由題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{5E+F=-25}\\{D-2E+F=-5}\\{D+6E+F=-37}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{D=-8}\\{E=-4}\\{F=-5}\end{array}}\right.$，
∴則圓方程為x²+y²-8x-4y-5=0．
（2）∵圓x²+y²-8x-4y-5=0的圓心Q（4，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{64+16+20}$=5，
直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-6=0與圓Q相交于C，D，△QCD的周長(zhǎng)為18，
弦CD的長(zhǎng)度為：18-2r=18-10=8，
∴圓心（4，2）到直線l的距離為$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{8}{2}）^{2}}$=4，
∴$d=\frac{{|{3m}|}}{{\sqrt{{{（2m+1）}^2}+{{（m+1）}^2}}}}=3⇒2{m^2}+3m+1=0$，
解得$m=-1，m=-\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意待定系數(shù)法和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．