Question

19．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，從兩班中各隨機(jī)抽取20人參加學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試，得到學(xué)生的學(xué)業(yè)成績莖葉圖如下：

（Ⅰ）通過莖葉圖比較甲、乙兩班學(xué)生的學(xué)業(yè)成績平均值$\overline{X}$_甲與${\overline X_乙}$及方差$s_甲^2$與$s_乙^2$的大��；（只需寫出結(jié)論）
（Ⅱ）根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績，將學(xué)業(yè)水平分為三個(gè)等級(jí)：

學(xué)業(yè)成績	低于70分	70分到89分	不低于90分
學(xué)業(yè)水平	一般	良好	優(yōu)秀

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，頻率可以視為相應(yīng)的概率．
（�。�從甲、乙兩班中各隨機(jī)抽取1人，記事件C：“抽到的甲班學(xué)生的學(xué)業(yè)水平等級(jí)高于乙班學(xué)生的學(xué)業(yè)水平等級(jí)”，求C發(fā)生的概率；
（ⅱ）從甲班中隨機(jī)抽取2人，記X為學(xué)業(yè)水平優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖能得到${\overline X_甲}＞{\overline X_乙}$，$s_甲^2＜s_乙^2$．
（Ⅱ）（i）記A₁、A₂、A₃分別表示事件：甲班學(xué)生學(xué)業(yè)水平等級(jí)為一般、良好、優(yōu)秀；記B₁、B₂、B₃分別表示事件：乙班學(xué)生學(xué)業(yè)水平等級(jí)為一般、良好、優(yōu)秀，由P（C）=P（A₂B₁）+P（A₃B₁）+P（A₃B₂），能求出C發(fā)生的概率．
（ii）從甲班隨機(jī)抽取1人，其學(xué)業(yè)水平優(yōu)秀的概率為$\frac{1}{4}$，則X=0，1，2，X～B（2，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖得${\overline X_甲}＞{\overline X_乙}$，$s_甲^2＜s_乙^2$．
（Ⅱ）（i）記A₁、A₂、A₃分別表示事件：甲班學(xué)生學(xué)業(yè)水平等級(jí)為一般、良好、優(yōu)秀；
記B₁、B₂、B₃分別表示事件：乙班學(xué)生學(xué)業(yè)水平等級(jí)為一般、良好、優(yōu)秀，
則P（C）=P（A₂B₁）+P（A₃B₁）+P（A₃B₂）
=P（A₂）P（B₁）+P（A₃）P（B₁）+P（A₃）P（B₂）
=$\frac{12}{20}×\frac{9}{20}+\frac{5}{20}×\frac{9}{20}+\frac{5}{20}×\frac{9}{20}$=$\frac{99}{200}$，
（ii）從甲班隨機(jī)抽取1人，其學(xué)業(yè)水平優(yōu)秀的概率為$\frac{1}{4}$，
則X=0，1，2，X～B（2，$\frac{1}{4}$），
$P（X=0）=C_2^0{（\frac{3}{4}）^2}=\frac{9}{16}$，
$P（X=1）=C_2^1\frac{1}{4}•\frac{3}{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
$P（X=2）=C_2^2{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{1}{16}$，
則X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

$EX=np=2×\frac{1}{4}=2$（或$EX=0×\frac{9}{16}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{1}{16}=2$）．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．