Question

9．已知直線l過點(diǎn)（1，1）和（0，3），第一象限的點(diǎn)A（a，b）落在直線l上，則$\frac{2a+b}{ab}$的最小值為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得點(diǎn)A（a，b）滿足a＞0，b＞0，2a+b=3，結(jié)合基本不等式求出ab的范圍，可得$\frac{2a+b}{ab}$的最小值．

解答 解：∵直線l過點(diǎn)（1，1）和（0，3），
故直線l的方程為：x=$\frac{y-3}{1-3}$，即2x+y=3，
由第一象限的點(diǎn)A（a，b）落在直線l上，
可得：a＞0，b＞0，2a+b=3，
∴2ab≤$\frac{（2a+b）^{2}}{4}$=$\frac{9}{4}$，即ab≤$\frac{9}{8}$
故$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{3}{ab}$≥$\frac{3}{\frac{9}{8}}$=$\frac{8}{3}$，
故答案為：$\frac{8}{3}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是基本不等式，直線方程，是直線與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．