Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，2），$\overrightarrow$=（cosx，$\frac{1}{2}$），記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\sqrt{3}sin2x$
（1）求函數(shù)f（x）的最值以及取得最值時(shí)x的集合：
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最值及對(duì)應(yīng)的x的集合；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解不等式可得所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，2），$\overrightarrow$=（cosx，$\frac{1}{2}$），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\sqrt{3}sin2x$=2cos²x+1+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即為x∈{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}，
f（x）取得最大值，且為4；
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即為x∈{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}，
f（x）取得最大值，且為0；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
即有增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．