Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R．
（1）若k=1，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若k＞$\frac{1}{2}$，令h（x）=f（x）+（k-1）x，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=xf（x）-k，若對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂，總存在x₀＞0，使得g′（x₀）=$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$成立，證明：x₀＞x₁．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)f′（x），求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論k的范圍，分k≥1，$\frac{1}{2}$＜k＜1，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）由g′（x₀）=$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$，可得lnx₀+1=$\frac{{x}_{1}ln{x}_{1}-{x}_{2}ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，進(jìn)而可變形為lnx₀-lnx₁=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$，只需證明lnx₀-lnx₁＞0，設(shè)φ（t）=lnt+1-t，其中0＜t＜1，用導(dǎo)數(shù)可判斷φ（t）＜φ（1）=0，又$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-1＜0，可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
即有在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0，切點(diǎn)為（1，1），
可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=1；
（2）若k＞$\frac{1}{2}$，令h（x）=f（x）+（k-1）x=lnx+$\frac{k}{x}$+（k-1）x，
即有h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$+k-1=$\frac{（k-1）{x}^{2}+x-k}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）[（k-1）x+k]}{{x}^{2}}$，
當(dāng)k≥1，即有（k-1）x+k＞0，當(dāng)h′（x）＞0，可得x＞1；當(dāng)h′（x）＜0，可得0＜x＜1；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜k＜1，即有1＜$\frac{k}{1-k}$，當(dāng)h′（x）＞0，可得$\frac{k}{1-k}$＜x＜1；
當(dāng)h′（x）＜0，可得x＜$\frac{k}{1-k}$或x＞1．
綜上可得，k≥1，h（x）在（0，1）遞減；在（1，+∞）遞增；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜k＜1時(shí)，f（x）在（$\frac{k}{1-k}$，1）遞增，在（-∞，$\frac{k}{1-k}$），（1，+∞）遞減；
（3）g（x）=xf（x）-k=xlnx，g′（x）=lnx+1，
因?yàn)閷?duì)任意的x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），總存在x₀＞0，
使得g′（x₀）=$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$成立，
所以lnx₀+1=$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
即lnx₀+1=$\frac{{x}_{1}ln{x}_{1}-{x}_{2}ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
即lnx₀-lnx₁=$\frac{{x}_{1}ln{x}_{1}-{x}_{2}ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-1-lnx₁
=$\frac{{x}_{2}ln{x}_{1}-{x}_{2}ln{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，（0＜t＜1），
則φ（t）=lnt+1-t，其中0＜t＜1，則φ′（t）=$\frac{1}{t}$-1＞0，
因而φ（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，φ（t）＜φ（1）=0，
又$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-1＜0，所以lnx₀-lnx₁＞0，即x₀＞x₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程和單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造法，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題..