Question

14．已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且$\frac{BG}{GC}=\frac{DH}{HC}$=2，求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)P．

Answer 1

分析 由題意連接EF、HG、GE、FH、AC，根據(jù)比例關(guān)系和中位線證明出四邊形EFHG是梯形，則由公理二得到直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)P．

解答 證明：連接EF、HG、GE、FH、AC，如圖，
∵BG：GC=DH：HC=2：1，
∴HG∥DB，且HG=$\frac{1}{3}$BD，
∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，且EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴四邊形EFHG是梯形，∴EG與FH交于點(diǎn)P，
∵平面ABC∩平面ADC=AC，EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ADC，
∴由公理二得：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)P．

點(diǎn)評 本題考查了線線平行關(guān)系，主要根據(jù)平面幾何中比例關(guān)系和中位線來證明線線平行，即平面幾何中的知識在空間幾何的一個平面內(nèi)仍然適用