Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，原點到直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率公式和點到直線的距離公式，結合b²=a²-c²，即可求得橢圓C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁≠y₂，BA的中點（x₀，y₀），直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），點B，A在橢圓上，化簡可得y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，AB的中點在y=kx+1上，解得x₀，利用$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得x=±$\sqrt{2}$，推出k的不等式，得到結果．

解答 解：（1）由已知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即c²=$\frac{1}{2}$a²，b²=a²-c²=$\frac{1}{2}$a²，
原點到直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，∴a²=4，∴b²=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）橢圓C上存在點B，A關于直線y=kx+1對稱，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁≠y₂
AB的中點（x₀，y₀），直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），
則x₁²+（y₁-1）²=x₂²+（y₂-1）²，
點B，A在橢圓上，
∴x₁²=4-2y₁²，x₂²=4-2y₂²，∴4-2y₁²+（y₁-1）²=4-2y₂²+（y₂-1）²，
化簡可得：y₁²-y₂²=-2（y₁-y₂），即y₁+y₂=-2，
∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，
又因為AB的中點在y=kx+1上，所以y₀=kx₀+1，x₀=-$\frac{2}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得x=±$\sqrt{2}$，
∴0＜-$\frac{2}{k}$＜$\sqrt{2}$，或-$\sqrt{2}$＜-$\frac{2}{k}$＜0，
即k＜-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．
則k的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，點到直線的距離公式，對稱知識的應用，考查轉化思想以及分析問題解決問題的能力．