Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）令b_n=n+a_nlog₂（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用等比數(shù)列的定義，得出{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)題意，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再寫出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出T_n的解析式．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-n，可得S₁=2a₁-1，即a₁=1，（1分）
又S_n+1=2a_n+1-（n+1），
相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，即a_n+1=2a_n+1，（2分）
所以$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{2{a_n}+2}}{{{a_n}+1}}=2$，
故{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．（6分）
（2）由（Ⅰ）得到a_n+1=2ⁿ，所以${a_n}={2^n}-1$，（7分）
于是b_n=n+a_nlog₂（a_n+1）=n+n（2ⁿ-1）=n×2ⁿ，（8分）
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
相減整理得-T_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
所以T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義與數(shù)列求和的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．