Question

13．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，側棱垂直于底面，面積最大的側面是正方形，且正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面積為16π，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的最大體積為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)球體體積計算球的半徑，得出底面直角三角形的斜邊長，從而得出底面直角邊a，b的關系，利用基本不等式求得ab的最大值，代入棱柱的體積得出體積的最大值．

解答 解：設三棱柱底面直角三角形的直角邊為a，b則棱柱的高h=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
設外接球的半徑為r，則4πr²=16π，解得r=2，
∵正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，∴$\sqrt{2}$h=2r=4．
∴h=2$\sqrt{2}$，
∴a²+b²=h²=8≥2ab，∴ab≤4．
∴三棱柱的體積V=Sh=$\frac{1}{2}abh$=$\sqrt{2}$ab≤4$\sqrt{2}$．
故答案為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了棱柱與外接球的關系，求出底面直角邊的關系是關鍵，屬于中檔題．