Question

14．已知兩個不共線的向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OC}$，向量$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OA}$關于向量$\overrightarrow{OC}$對稱，設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow$用$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$表示為（　�。�

• A． 2（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$
• B． $\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}|}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$
• C． $\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}|}-\overrightarrow{a}$
• D． $\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$

Answer 1

分析 作$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的和向量，由$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$對稱可知，所做平行四邊形為菱形，且和向量與$\overrightarrow{c}$共線，根據(jù)菱形的性質可知和向量的模為$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$上射影的2倍．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OA}$關于向量$\overrightarrow{OC}$對稱，∴$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=＜$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$＞．
以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則四邊形OADB是菱形，∴OD⊥AB，
設AB，OD交于點E，則E為OD中點．OE為$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$上的射影，
∴OD=2OE=2|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}|}$．∴$\overrightarrow{OD}$=OD•$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}•\overrightarrow{c}$．
∴$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$=$\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的幾何意義，向量的射影，求出和向量的模是解題關鍵，屬于中檔題．