Question

3．某地有如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地ABCO，且AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=4km，AO=2km，曲線段OC是以O(shè)為頂點(diǎn)，開口向上，且對稱軸平行于AB的拋物線的一段．當(dāng)?shù)卣�府為科技興市，欲將該地規(guī)劃建成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)PMBN，矩形的相鄰兩邊BM，BN分別落在AB，BC上，頂點(diǎn)P在曲線段OC上．問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1 km²）．

Answer 1

分析 求出曲線OC的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出矩形的面積函數(shù)，求出面積函數(shù)的最大值．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，直線AO為x軸，且以1 km為單位長度建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，于是C（2，4），B（-2，4）．
設(shè)曲線段OC所在拋物線方程為x²=2py（p＞0），
于是2²=2p×4，得2p=1．所以曲線段OC所在拋物線方程為x²=y．
設(shè)P（x，x²）（0≤x＜2），則M（-2，x²），N（x，4），MP=x+2，PN=4-x²，
∴矩形PMBN的面積S（x）=MP•PN=（x+2）（4-x²）=-x³-2x²+4x+8（0≤x＜2），
$S'=-3{x^2}-4x+4=-3（x+2）（{x-\frac{2}{3}}）$，令S'=0得$x=\frac{2}{3}$或x=-2（舍）．
當(dāng)$x∈（{0，\;\;\frac{2}{3}}）$時，S'＞0，∴函數(shù)S在$（{0，\;\;\frac{2}{3}}）$內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)$x∈（{\frac{2}{3}，\;\;2}）$時，S'＜0，∴函數(shù)S在$（{\frac{2}{3}，\;\;2}）$內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)．
∴$x=\frac{2}{3}$時，S（x）取得最大值S（$\frac{3}{2}$）=$\frac{256}{27}$≈9.5．
故選取P點(diǎn)距AB距離約為2.7 km時，能使矩形園區(qū)的用地面積最大，最大面積約為9.5 km²．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值之間的關(guān)系，求出矩形的面積函數(shù)是解題關(guān)鍵．