Question

14．已知圓C₁：x²-2x+y²=0，圓C₂：（x+3）²+（y-4）²=1，若過點(diǎn)C₁的直線l被圓C₂所截得的弦長為$\frac{6}{5}$，則直線l的方程為4x+3y-4=0或3x+4y-3=0．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C₁的直線l被圓C₂所截得的弦長為$\frac{6}{5}$，可得圓心到直線的距離d=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，故可設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，利用圓心（-3，4）到直線的距離d=$\frac{|-3k-4+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{5}$，求出k值，進(jìn)而得到直線方程．

解答 解：圓圓C₁：x²-2x+y²=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+y²=1．
∵過點(diǎn)C₁的直線l被圓C₂所截得的弦長為$\frac{6}{5}$，
∴圓心到直線的距離d=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$
由題意，所求直線的斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0
∴圓心（-3，4）到直線的距離d=$\frac{|-3k-4+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{5}$
∴k=-$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$
∴此時(shí)直線方程為4x+3y-4=0或3x+4y-3=0．
故答案為：4x+3y-4=0或3x+4y-3=0．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．