Question

6．橢圓C₁與C₂的中心在原點，焦點分別在x軸與y軸上，它們有相同的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，并且C₂的短軸為C₁的長軸，C₁與C₂的四個焦點構(gòu)成的四邊形面積是$2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C₁與C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C₂上非頂點的動點，P與橢圓C₁長軸兩個頂點A，B的連線PA，PB分別與橢圓C₁交于點E，F(xiàn)．
（1）求證：直線PA，PB斜率之積為常數(shù)；
（2）直線AF與直線BE的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設(shè)C₁：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，C₂：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{{4{b^2}}}=1$，由對稱性，四個焦點構(gòu)成的四邊形為菱形，從而得到b²=1，由此能求出橢圓C₁與C₂的方程．
（Ⅱ）（1）設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{4}=1$，$A（-\sqrt{2}，0）$，$B（\sqrt{2}，0）$，由此能證明直線PA，PB斜率之積為常數(shù)．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），則$\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$，${k_{EA}}=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{2}}}$，${k_{EB}}=\frac{y_1}{{{x_1}-\sqrt{2}}}$，由此能求出直線AF與直線BE的斜率之積為常數(shù)．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵橢圓C₁與C₂的中心在原點，焦點分別在x軸與y軸上，它們有相同的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
并且C₂的短軸為C₁的長軸，C₁與C₂的四個焦點構(gòu)成的四邊形面積是$2\sqrt{2}$．
∴依題意$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設(shè)C₁：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，C₂：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{{4{b^2}}}=1$，
由對稱性，四個焦點構(gòu)成的四邊形為菱形，
且面積$S=\frac{1}{2}×2b×2\sqrt{2}b=2\sqrt{2}$，解得：b²=1，
所以橢圓C₁：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，C₂：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$…．（4分）
證明：（Ⅱ）（1）設(shè)P（x₀，y₀），
則$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{4}=1$，$A（-\sqrt{2}，0）$，$B（\sqrt{2}，0）$，
${k_{PA}}=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，${k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{2}}}$…．（6分）
∴${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-2}=\frac{4-2x_0^2}{x_0^2-2}=-2$，
直線PA，PB斜率之積為常數(shù)-2…．（8分）
解：（2）設(shè)E（x₁，y₁），則$\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$，${k_{EA}}=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{2}}}$，${k_{EB}}=\frac{y_1}{{{x_1}-\sqrt{2}}}$，
∴${k_{EA}}•{k_{EB}}=\frac{y_1^2}{x_1^2-2}=\frac{{1-\frac{1}{2}x_1^2}}{x_0^2-2}=-\frac{1}{2}$，同理：${k_{FA}}•{k_{FB}}=-\frac{1}{2}$…．（10分）
∴${k_{EA}}•{k_{EB}}．{k_{FA}}•{k_{FB}}=\frac{1}{4}$，
由k_EA=k_PA，k_FB=k_PB，結(jié)合（1）有${k_{EA}}•{k_{FB}}=-\frac{1}{8}$…．（10分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線斜率之積為常數(shù)的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程、斜率公式等知識點的合理運用．