Question

11．已知集合M_B是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f（x）的全體，對(duì)于定義域B中的任何兩個(gè)自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
（1）當(dāng)B=R時(shí)，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是否屬于M_B？為什么？
（2）當(dāng)B=（0，+∞）時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$是否屬于M_B，若屬于請(qǐng)給予證明；若不屬于請(qǐng)說(shuō)明理由，并說(shuō)明是否存在一個(gè)B₁?（0，+∞）使f（x）=$\frac{1}{x}$屬于${M}_{{B}_{1}}$．

Answer 1

分析 若|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則 $\frac{\left|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）\right|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$≤1，即|f′（x）|≤1，
（1）當(dāng)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$時(shí)，判斷|f′（x）|≤1是否恒成立，可得答案；
（2）當(dāng)f（x）=$\frac{1}{x}$時(shí)，求出使|f′（x）|≤1恒成立，且滿足B₁?（0，+∞）的區(qū)間，可得答案．

解答 解：若|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則 $\frac{\left|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）\right|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$≤1，
即|f′（x）|≤1，
（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是否屬于M_B，理由如下：
若f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，滿足條件|f′（x）|≤1，
當(dāng)x≠0時(shí)，|f′（x）|=|$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$|≤1，
故f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是否屬于M_B，
（2）若f（x）=$\frac{1}{x}$，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}$，
由|f′（x）|≤1得，x≥1，
故當(dāng)B=（0，+∞）時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$不屬于M_B，
但存在B₁=[1，+∞）⊆（0，+∞）使f（x）=$\frac{1}{x}$屬于${M}_{{B}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度