Question

20．在△ABC中，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且AE：EB=AF：FC=1：2，P為EF上任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x、y滿足$\overrightarrow{PA}$+x$\overrightarrow{PB}$+y$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，設(shè)△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的面積分別為S、S₁、S₂、S₃，記$\frac{{S}_{1}}{S}$=λ₁，$\frac{{S}_{2}}{S}$=λ₂，$\frac{{S}_{3}}{S}$=λ₃，則當(dāng)λ₂•λ₃取最大值時(shí)，2x+y的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得EF平行且等于$\frac{1}{3}$BC，可得 λ₁=$\frac{2}{3}$，λ₂+λ₃=$\frac{1}{3}$，利用基本不等式求得λ₂•λ₃取得組大值時(shí)λ₂=λ₃=$\frac{1}{6}$，且P為EF的中點(diǎn)，$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$ ）．由已知$\overrightarrow{PA}$=-x$\overrightarrow{PB}$+（-y）$\overrightarrow{PC}$，求得x和y的值，可得2x+y的值．

解答 解：∵△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的面積分別為S、S₁、S₂、S₃，
$\frac{{S}_{1}}{S}$=λ₁，$\frac{{S}_{2}}{S}$=λ₂，$\frac{{S}_{3}}{S}$=λ₃，∴λ₁+λ₂+λ₃=1．
∵E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且AE：EB=AF：FC=1：2，可得E、F分別為 AB、AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，
且EF平行且等于$\frac{1}{3}$BC，
P為EF上任一點(diǎn)，∴λ₁=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•\frac{2}{3}h}{\frac{1}{2}•BC•h}$=$\frac{2}{3}$，∴λ₂+λ₃=$\frac{1}{3}$≥2$\sqrt{{λ}_{2}{•λ}_{3}}$，
∴λ₂•λ₃≤$\frac{1}{36}$，當(dāng)且僅當(dāng)λ₂=λ₃=$\frac{1}{6}$時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，P為EF的中點(diǎn)，
$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{2}$•[$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$ ）]=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$ ）．
由已知$\overrightarrow{PA}$+x$\overrightarrow{PB}$+y$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{PA}$=-x$\overrightarrow{PB}$+（-y）$\overrightarrow{PC}$，故有x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{1}{4}$，∴2x+y=$\frac{3}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．