Question

13．如圖，三棱錐ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是正三角形，A₁D⊥平面ABC，D是AC的中點．
（1）求證：A₁C₁⊥A₁B；
（2）求證：B₁C∥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）連接BD，證明AC⊥平面A₁BD，即可證明A₁C₁⊥A₁B；
（2）連結(jié)AB₁交A₁B于點E，連結(jié)DE．證出DE為△AB₁C的中位線，得DE∥B₁C，利用線面平行的判定定理，即可證出B₁C∥平面A₁BD．

解答 證明：（1）連接BD，則
∵A₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴A₁D⊥AC，
∵底面ABC是正三角形，D是AC的中點，
∴AC⊥BD，
∵A₁D∩BD=D，
∴AC⊥平面A₁BD，
∴AC⊥A₁B，
∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁⊥A₁B；
（2）連結(jié)AB₁，交A₁B于點E，連結(jié)DE
∵四邊形AA₁B₁B為平行四邊形，
∴E為AB₁的中點，
∵D是AC的中點，可得DE為△AB₁C的中位線，
∴DE∥B₁C，
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．

點評 本題考查證明線面平行和線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用線面平行的判定是關(guān)鍵，屬于中檔題．