Question

3．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥-2}\\{3x-2y≤3}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$，若x²+4y²≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 利用換元法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)a=x，b=2y，則不等式x²+4y²≥m等價(jià)為a²+b²≥m，
則約束條件等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{a-b≥-2}\\{3a-b≤3}\\{2a+b≥2}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=a²+b²，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
由圖象知O到直線2a+b=2的距離最小，
此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則z=d²=$\frac{4}{5}$，
即m≤$\frac{4}{5}$，即實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{4}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，解題的關(guān)鍵是會利用換元法進(jìn)行求解．