Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{1+|x|}$，-1），$\overrightarrow$=（1，-$\frac{3}{1+|x-2|}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，則下列命題正確的個數(shù)為（　　）個．
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
②f（x）的值域為（0，4]；
③曲線f（x）在x=0，x=2處的切線方程均為y=4；
④f（x）的極值點的個數(shù)為3；
⑤方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的實數(shù)解的個數(shù)為6．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的意義，運用分段函數(shù)表示函數(shù)f（x），對于①，將x換為2-x，計算即可判斷；
對于②，由對稱性和單調(diào)性，考慮（1，2），（2，+∞）的單調(diào)性，即可判斷；對于③，運用極值點，即可判斷；對于④，由單調(diào)性，即可判斷；對于⑤，可令t=f（x），f（t）=$\frac{10}{3}$，由極值點，確定t的范圍，進而確定x的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=$\frac{3}{1+|x|}$+$\frac{3}{1+|x-2|}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6x}{{x}^{2}-1}，x≥2}\\{\frac{12}{（1+x）（3-x）}，0＜x＜2}\\{\frac{3（4-2x）}{（x-1）（x-3）}，x≤0}\end{array}\right.$；
對于①，由f（2-x）=$\frac{3}{1+|2-x|}$+$\frac{3}{1+|x|}$=f（x），
即有f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故①正確；
對于②，由對稱性，討論x≥1的單調(diào)性和最值，
當(dāng)1≤x＜2時，f（x）=$\frac{12}{（1+x）（3-x）}$=$\frac{12}{4-（x-1）^{2}}$遞增，
當(dāng)x≥2時，f（x）=$\frac{6}{x-\frac{1}{x}}$遞減，即有f（2）取得最大值4，
且f（x）＞0，則f（x）的值域為（0，4]，故②正確；
對于③，由于x=0，x=2為極值點，
由圖象可得，曲線f（x）在x=0，x=2處不存在切線，故③不正確；
對于④，函數(shù)的極值點為x=0，1，2，故④正確；
對于⑤，可令t=f（x），即有f（t）=$\frac{10}{3}$，由極值點（0，4），（1，3），（2，4），
可得t有4個，一個小于0，一個介于（0，1），一個介于（1，2），一個介于（2，3），
則t=f（x）的解x有6個，故⑤正確．
故選：C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查函數(shù)的值域、對稱性和單調(diào)性、極值點，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．