Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x-1}$，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線y=-$\frac{1}{e}$x+e垂直，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（e^x+1）≤t有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線y=-$\frac{1}{e}$x+e垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）由于e^x+1＞1，關(guān)于x的不等式f（e^x+1）≤t有解，等價(jià)于?＞1，使得f（x）≤t，即$\frac{{e}^{x}-e}{x-1}$≤t，即e^x-tx+t-e≤0成立．分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）+a}{（x-1）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線y=-$\frac{1}{e}$x+e垂直，
∴f′（2）=e，
∵f′（2）=a，
∴a=e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=$\frac{{e}^{x}-e}{x-1}$，
∵e^x+1＞1，
∴關(guān)于x的不等式f（e^x+1）≤t有解，等價(jià)于?＞1，使得f（x）≤t，即$\frac{{e}^{x}-e}{x-1}$≤t，
即e^x-tx+t-e≤0成立．
令g（x）=e^x-tx+t-e，則g′（x）=e^x-t．
①t≤e，則x＞1時(shí)，g′（x）=e^x-t≥e-t≥0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，∴e^x-tx+t-e≤0不成立；
②t＞e，則由g′（x）=e^x-t=0得x=lnt＞1，
∵x∈（1，lnt）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，lnt）上是減函數(shù)，
∴x∈（1，lnt）時(shí)，g（x）＜g（1）=0，e^x-tx+t-e≤0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是（e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式有解問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．