Question

9．已知直線2ax-by+14=0（a＞0，b＞0），且該直線上的點A（-1，2）始終落在圈（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的內部或圓上，則$\frac{a}$的取值范圍為[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 點A（-1，2）代入直線方程，及圓的方程，再換元，轉化為t的不等式，即可求出$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：點A（-1，2）代入直線2ax-by+14=0可得-2a-2b+14=0，
即a+b=7．
∵定點始終落在圓（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的內部或圓上，
∴a²+b²≤25
設$\frac{a}$=t，
則b=at，代入a+b=7，
∴a=$\frac{7}{1+t}$
代入a²+b²≤25可得（1+t²）（$\frac{7}{1+t}$）²≤25，
∴12t²-25t+12≤0，
∴$\frac{3}{4}$≤t≤$\frac{4}{3}$．
故答案為：[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查點與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查解不等式，屬于中檔題．