Question

9．已知拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點M（2，4），其焦點為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的左焦點作拋物線的切線l，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點M（2，4），可得拋物線的方程，即可求出橢圓的焦點，利用橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y=k（x+2），帶入拋物線方程，利用判別式等于0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點M（2，4），
∴4²=2p×2，解得p=4，…（2分）
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x．…（3分）
∴拋物線的焦點為（2，0），即橢圓的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），即c=2．      …（4分）
又∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，…（6分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．…（7分）
（2）由題意知切線l的斜率存在，設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y=k（x+2）．…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$消去y，得方程k²x²+（4k²-8）x+4k²=0．…（10分）
∵l與拋物線相切，∴△=（4k²-8）²-4k²•4k²=0，∴k=±1，…（12分）
∴切線l的方程為y=x+2或y=-x-2．…（14分）

點評 本題考查拋物線、橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．