Question

14．一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒．當(dāng)無蓋方盒的容積V最大時(shí)，x的值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 設(shè)無蓋方盒的底面邊長(zhǎng)為a，則a=6-2x，則無蓋方盒的容積為：V（x）=x（6-2x）²．求導(dǎo)得V'（x）=12x²-48x+36．再令V'（x）=12x²-48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的單調(diào)性知，16為V（x）的最大值．由此能求出截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為多少時(shí)，無蓋方盒的容積最大．

解答 解：設(shè)無蓋方盒的底面邊長(zhǎng)為a，則a=6-2x，
則無蓋方盒的容積為：V（x）=x（6-2x）²．
得V′（x）=12x²-48x+36．
令V′（x）=12x²-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V′（x）=12x²-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函數(shù)V（x）的定義域?yàn)閤∈（0，3），
∴函數(shù)V（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（0，1）；函數(shù)V（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（1，3）．
令V′（x）=12x²-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的單調(diào)性知，16為V（x）的最大值．
故截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為1m時(shí)，無蓋方盒的容積最大，其最大容積是16m³．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題．易錯(cuò)點(diǎn)是理不清數(shù)量間的相互關(guān)系，不能正確地建立方程．