Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-1，g（x）=-（x-2）²+m，若存在a，b∈[0，3]，使得f（a）＞g（b）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出函數(shù)在[0，3]上的取值范圍，結(jié)合函數(shù)最值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則f（0）≤f（x）≤f（3），
即0≤f（x）≤e³-1，
函數(shù)g（x）=-（x-2）²+m的對(duì)稱軸為x=2，拋物線開(kāi)口向下，
則當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值m，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值g（0）=m-4，
即m-4≤g（x）≤m，
若不存在a，b∈[0，3]，使得f（a）＞g（b）成立，
即任意的a，b∈[0，3]，使得f（a）≤g（b）成立，
即f（x）_max≤g（x）_min，
即e³-1≤m-4，即m≥e³+3，
則若存在a，b∈[0，3]，使得f（a）＞g（b）成立，
則m＜e³+3
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，e³+3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．