Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$．
（1）求f^-1（x）的解析式；
（2）求使f^-1（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式求出自變量，再把自變量和函數(shù)交換位置，即得反函數(shù)的解析式，
（2）需要分類(lèi)討論，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，得到0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，當(dāng)a＞1時(shí)，得到$\frac{1+x}{1-x}$＞1，解得即可．

解答 解：（1）y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
∴a^x+1=$\frac{2}{1-y}$
∴a^x=$\frac{2}{1-y}$-1=$\frac{1+y}{1-y}$，
∴x=log_a（$\frac{1+y}{1-y}$），
∴f^-1（x）=log_a（$\frac{1+x}{1-x}$），-1＜x＜1，
（2）f^-1（x）＞0，
∴l(xiāng)og_a（$\frac{1+x}{1-x}$）＞0=log_a1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
∴0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，
解得-1＜x＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，
$\frac{1+x}{1-x}$＞1，
解得0＜x＜1，
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的范圍為（-1，0），
當(dāng)a＞1時(shí)，x的范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反函數(shù)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出反函數(shù)，是解題的難點(diǎn)．