Question

8．若無窮數(shù)列{a_n}滿足：只要a_p=a_q（p，q∈N^*），必有a_p+1=a_q+1，則稱{a_n}具有性質(zhì)P．
（1）若{a_n}具有性質(zhì)P，且a₁=1，a₂=2，a₄=3，a₅=2，a₆+a₇+a₈=21，求a₃；
（2）若無窮數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，無窮數(shù)列{c_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b₁=c₅=1；b₅=c₁=81，a_n=b_n+c_n，判斷{a_n}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（3）設(shè){b_n}是無窮數(shù)列，已知a_n+1=b_n+sina_n（n∈N^*），求證：“對(duì)任意a₁，{a_n}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{b_n}是常數(shù)列”．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過a₂=a₅=2，推出a₃=a₆，a₄=a₇，轉(zhuǎn)化求解a₃即可．
（2）設(shè)無窮數(shù)列{b_n}的公差為：d，無窮數(shù)列{c_n}的公比為q，則q＞0，利用條件求出，d與q，求出b_n，c_n得到a_n的表達(dá)式，推出a₂≠a₆，說明{a_n}不具有性質(zhì)P．
（3）充分性：若{b_n}是常數(shù)列，設(shè)b_n=C，通過a_n+1=C+sina_n，證明a_p+1=a_q+1，得到{a_n}具有性質(zhì)P．
必要性：若對(duì)于任意a₁，{a_n}具有性質(zhì)P，得到a₂=b₁+sina₁，設(shè)函數(shù)f（x）=x-b₁，g（x）=sinx，說明b_n+1=b_n，即可說明{b_n}是常數(shù)列．

解答 解：（1）∵a₂=a₅=2，∴a₃=a₆，
a₄=a₇=3，∴a₅=a₈=2，a₆=21-a₇-a₈=16，∴a₃=16．
（2）設(shè)無窮數(shù)列{b_n}的公差為：d，無窮數(shù)列{c_n}的公比為q，則q＞0，
b₅-b₁=4d=80，
∴d=20，∴b_n=20n-19，$\frac{{c}_{5}}{{c}_{1}}$=q⁴=$\frac{1}{81}$，∴q=$\frac{1}{3}$，∴c_n=$（\frac{1}{3}）^{n-5}$
∴a_n=b_n+c_n=20n-19+$（\frac{1}{3}）^{n-5}$．
∵a₁=a₅=82，
而a₂=21+27=48，a₆=101$+\frac{1}{3}$=$\frac{304}{3}$．a(chǎn)₁=a₅，但是a₂≠a₆，{a_n}不具有性質(zhì)P．
（3）充分性：若{b_n}是常數(shù)列，
設(shè)b_n=C，則a_n+1=C+sina_n，
若存在p，q使得a_p=a_q，則a_p+1=C+sina_p=C+sina_q=a_q+1，
故{a_n}具有性質(zhì)P．
必要性：若對(duì)于任意a₁，{a_n}具有性質(zhì)P，
則a₂=b₁+sina₁，
設(shè)函數(shù)f（x）=x-b₁，g（x）=sinx，
由f（x），g（x）圖象可得，對(duì)于任意的b₁，二者圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，
∴一定能找到一個(gè)a₁，使得a₁-b₁=sina₁，
∴a₂=b₁+sina₁=a₁，∴a_n=a_n+1，
故b_n+1=a_n+2-sina_n+1=a_n+1-sina_n=b_n，
∴{b_n}是常數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，充要條件的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，邏輯思維能力，難度比較大．