Question

13．已知曲線y=$\frac{1}{{x}^{3}}$在點(diǎn)P（-1，-1）處的切線與直線m平行且距離等于$\sqrt{10}$，求直線m的方程．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線，利用直線平行的距離公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{4}}$，
則函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{3}}$在點(diǎn)P（-1，-1）處的切線斜率k=f′（-1）=-3，
則切線方程為y+1=-3（x+1），即3x+y+4=0，
∵直線m與切線平行，
∴設(shè)直線m的方程為3x+y+b=0，
∵兩直線的距離是$\sqrt{10}$，
∴d=$\frac{|b-4|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}=\frac{|b-4|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$，
即|b-4|=10，
則b=14或b=-6，
即直線m的方程為3x+y+14=0或3x+y-6=0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線方程的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，利用平行線系以及平行直線的距離公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．