Question

5．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，E為CD上任意一點．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）若E為CD的中點，P是AA₁的中點，求證DP∥平面B₁AE．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B₁E⊥AD₁．
（2）求出$\overrightarrow{DP}$和平面B₁AE的法向量，利用向量法能證明DP∥平面B₁AE．

解答 證明：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AA₁=AD=a，E為CD上任意一點，設(shè)DE=t，DC=2m，0≤t≤2m，
∴B₁（2m，0，a），E（m，a，0），A（0，0，0），D₁（0，a，a），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-m，a，-a），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，a，a），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$•$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=0+a²-a²=0，
∴B₁E⊥AD₁．
（2）P（0，0，$\frac{a}{2}$），D（0，a，0），B₁（2m，0，a），A（0，0，0），E（m，a，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，-a，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2m，0，a），$\overrightarrow{AE}$=（m，a，0），
設(shè)平面B₁AE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2mx+az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=mx+ay=0}\end{array}\right.$，
取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{a}{m}$，1，2），
∵$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{m}$=0-a+a=0，且DP?平面B₁AE，
∴DP∥平面B₁AE．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．