Question

11．已知函數(shù)f（x）是滿足f（x+2）=-f（x）的奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²-1．
（1）證明：4是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（2）求當(dāng)7＜x≤8時(shí)，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）是滿足f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），結(jié)合函數(shù)周期性的概念，可得結(jié)論；
（2）當(dāng)7＜x≤8時(shí)，-1＜x-8≤0，0≤8-x＜1，又由f（x）是周期為4的奇函數(shù)，可得f（x）=-f（-x）=-f（8-x），代入化簡(jiǎn)可得答案．

解答 證明：（1）∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故4是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（2）當(dāng)7＜x≤8時(shí)，-1＜x-8≤0，0≤8-x＜1，
又∵f（x）是周期為4的奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=-f（8-x）=-[（8-x-$\frac{1}{2}$）²-1]=$-{x}^{2}+15x-\frac{221}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，函數(shù)的解析式的求法，難度中檔．