Question

20．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S₅=45．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列的公差為d，運用求和公式，計算可得d=4，再由通項公式即可得到所求；
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-3）×（4n+1）}$=$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$，由裂項相消求和即可得到所求值．

解答 （1）解：設等差數列的公差為d，
由a₁=1，S₅=45，可得45=5+$\frac{1}{2}$×5×4d，
解得d=4，
則a_n=4n-3；
（2）證明：由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-3）×（4n+1）}$=$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$，
則T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{1×5}$+$\frac{1}{5×9}$+$\frac{1}{9×13}$+…+$\frac{1}{（4n-3）×（4n+1）}$
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{n}{4n+1}$．

點評 本題考查等差數列的通項和求和公式的運用，考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．