Question

8．已知函數(shù)f（x）=tan（x-π）sin（x+$\frac{3π}{2}$）sin（x-3π）+cos（x-$\frac{3π}{2}$）+2．
（I）化簡(jiǎn)f（x）；
（Ⅱ）若方程f（x）=m在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件利用誘導(dǎo)公式能求出f（x）．
（Ⅱ）由sin²x-sinx+2-m=0在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用根的判別式得到△＞0，從而得m＞$\frac{7}{4}$．由sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，（sinx-$\frac{1}{2}$）²=m-$\frac{7}{4}$，得m≤2，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=tan（x-π）sin（x+$\frac{3π}{2}$）sin（x-3π）+cos（x-$\frac{3π}{2}$）+2
=tanx（-cosx）（-sinx）+（-sinx）+2
=sin²x-sinx+2．
（Ⅱ）∵方程f（x）=m在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴sin²x-sinx+2-m=0在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴△=1-4（2-m）＞0，解得m＞$\frac{7}{4}$．
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，又∵sin²x-sinx+2-m=0，
∴（sinx-$\frac{1}{2}$）²=m-$\frac{7}{4}$，
∵sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴直線y=m-$\frac{7}{4}$與拋物線y=（sinx-$\frac{1}{2}$）²在sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴m-$\frac{7}{4}$≤$\frac{1}{4}$，解得m≤2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{7}{4}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和配方法的合理運(yùn)用．