Question

16．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）直接寫出f（x）表達式；
（2）將f（x）圖象上所有點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{2}{3}$，然后再向右平移$\frac{π}{4}$得到g（x）圖象，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{π}{12}$時取得最大值$\frac{5}{2}$，求出φ，得到函數(shù)的解析式，即可得解．
（2）由題意根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性，求得g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可知A=2，T=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=π，ω=2，
由A+k=$\frac{5}{2}$，-A+k=-$\frac{1}{2}$，解得：A=$\frac{3}{2}$，k=1，
當x=$\frac{π}{12}$時取得最大值$\frac{5}{2}$，所以 $\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）+1，
所以：2×$\frac{π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
因為：|φ|＜$\frac{π}{2}$．
所以φ=$\frac{π}{3}$，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=$\frac{3}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{2}{3}$倍，
可得函數(shù)y=$\frac{3}{2}$sin（3x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象．
再將所得函數(shù)圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）=$\frac{3}{2}$sin[3（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]+1=$\frac{3}{2}$sin（3x-$\frac{5π}{12}$）+1，
令 2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{5π}{12}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{11π}{36}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{23π}{36}$]，k∈z．
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{5π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{36}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{11π}{36}$]，k∈z．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性，屬于基礎題．