Question

9．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2^x-2，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-1，9]內(nèi)恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{5}$）∪（$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 可判斷f（x）的周期為4，從而作函數(shù)f（x）與y=log_a（x+1）在（-1，9]上的圖象，結(jié)合圖象分類(lèi)討論即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的周期為4，
作函數(shù)f（x）與y=log_a（x+1）在（-1，9]上的圖象如下，
，
當(dāng)a＞1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2+1）＜2}\\{lo{g}_{a}（6+1）＞2}\end{array}\right.$，
解得，$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{7}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（4+1）＞-1}\\{lo{g}_{a}（8+1）＜-1}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{9}$＜a＜$\frac{1}{5}$；
故答案為：（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{5}$）∪（$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．